代数几何(了解代数几何的历史)

俄罗斯数学家沙法列维奇认为，代数几何在20世纪现代数学发展史上占据着相对中心的地位。针对代数几何研究的需要，提出了抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何与分析中的许多重要理论。我们不妨简单地把代数几何看成一门“用多项式研究几何，用几何思想研究多项式”的学科。尤其是体现在代数几何中的代数与几何的相互作用，具有普遍意义。目前，这种思维方法已经渗透到现代数学的几乎所有主要分支。

这篇文章的作者陈悦，原标题是《什么是代数几何》，由于文章篇幅限制，将文章分为两部分:

之一部分“了解代数几何的历史(一)”是20世纪初及之前很长一段时间数学家对代数簇的深入研究；

第二部分，了解代数几何的历史(二)，讲述从抽象代数方法引入代数几何到概率论建立的发现。

欢迎品鉴，一文了解代数几何发展史。

俄罗斯数学家沙法列维奇认为，代数几何在20世纪现代数学发展史上占据着相对中心的地位。针对代数几何研究的需要，提出了抽象代数、代数拓扑与微分拓扑、整体微分几何与分析中的许多重要理论。在20世纪基础数学大多数重大进展的背后(比如获得菲尔兹奖和沃尔夫奖的工作)，我们总能看到代数几何的影子。例如，获得沃尔夫奖的陈省身先生和丘成桐先生的最重要的工作，都与代数几何密切相关:陈省身的特征类已经深入推广应用到代数几何中，而著名的卡拉比-邱流形则是目前代数几何中最热门的研究对象之一。本文将简要回顾代数几何的发展历史，可以帮助我们理解这一相当神奇的数学分支。

之一，19世纪以前的探索

简单来说，代数几何的主要研究对象是“代数簇”，最简单的代数簇(也叫仿射代数簇)是一组多元多项式的零点的 *** 。事实上，代数簇的研究始于古希腊。两千年前，古希腊数学家熟悉的直线、圆、圆锥曲线、三次曲线等代数曲线，平面、球面、柱面、二次曲面等代数曲面，都属于仅由一个多项式决定的代数簇。在没有直角坐标系的情况下，阿波罗尼奥斯用在今天看来很笨拙的综合几何方法对圆锥曲线做了非常细致的研究，发现了它的许多性质。到了现代法国数学家笛卡尔和费马能够用解析几何研究任意代数曲线方程的时候，事情有了质的飞跃。因为古希腊数学家没有代数工具，只能研究低阶代数方程表示的曲线或曲面。有了解析几何，他们可以在理论上讨论任何次数的代数曲线或曲面，这样所有的几何问题都可以转化为代数问题来解决。费马还证明了所有非退化的圆锥曲线都是圆锥曲线。微积分的发明者之一牛顿初步分类了三次平面曲线(共72种)，而欧拉分类了所有二次曲面。

图1:笛卡尔

17世纪，德萨格通过研究画家的透视法，形成了射影对应的概念，他还引入了无穷远的概念。在普通欧氏平面和空上加上无穷远点后，得到紧射影平面和射影空，这是许多经典代数簇所在的空空间。另一方面，欧拉虚数概念的引入也完成了代数的“封闭”，可以简化数学命题的描述。比如在射影平面中，非退化二次曲线只有一种(在普通欧几里得平面中，曲线有椭圆、双曲线、抛物线三种)，三次曲线也不是牛顿的72种，只有三种曲线。

图2:牛顿

牛顿和莱布尼茨也用所谓的“消元法”得到了确定两条代数曲线交点的方程组(即大学高等代数教材中的“结式”方程组)。在此基础上，数学家Bézout证明了著名的Bé zout定理:设C和C’是M次和N次的平面射影复曲线，则C和C’相交于mn点(计算重数)。比如在曲面上，复射影平面上直线与抛物线相交有四种情况:两点相交、一点相交、相切、不相交。但实际上，当直线和抛物线相交于一点时，它们也相交于抛物线上的无穷远点，而相切可以理解为它们在两个重合点的相交。至于不相交的情况，可以看做是它们在复平面上两个假想的无穷远点的交点，这两个点叫做“点”。这样，在复射影平面上，之一条直线和第二条抛物线之间总有1× 2 = 2个交点。再比如椭圆和三次曲线总是相交于2× 3 = 6个交点等等。Bezu定理实际上是代数几何的一个重要分支——交论的起点。

图3莱布尼茨

二、19世纪代数簇的初步研究

直到19世纪上半叶射影几何理论正式出现，才初步形成了一些关于复代数曲线和复代数族的代数几何定理。以法国数学家庞斯列为代表的一批数学家建立了系统的射影几何理论，总结和整理了大量射影几何的命题和方法，特别是射影变换理论。例如，圆锥曲线可以被视为两条相互投影的对应线束的对应直线的相交轨迹。在射影几何中，有一些定理与枚举几何有关。例如，可以证明每一个三次代数曲面有27条直线，每一条非退化四次代数曲线有28条双切线同时与曲线相切两次，有3264条二次曲线与五条已知二次曲线相切。

黎曼是19世纪最伟大的数学家。在研究阿贝尔积分理论的过程中，他提出了“黎曼曲面”的概念和黎曼曲面上代数函数的理论。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数曲线密切相关的一种复积分。它来源于微积分中更早的“椭圆积分”，学习椭圆积分的最初目的是计算椭圆的周长(微积分中我们已经知道对于类似椭圆周长的定积分是没有原函数的，他们只能通过近似计算得到定积分的值)。现在，在复平面上，如果f (x，y)是二元复多项式，那么f(x，y) = 0定义了一条复代数曲线。注意这里可以取复值的x和y都是实二维复变量，所以复平面可以看作实四维空之间的复方程f (x，y)，相当于两个实数方程。这样，每一条复代数曲线都对应着一个抽象的几何对象，叫做黎曼曲面。黎曼最初的目标是对黎曼曲面上的所有阿贝尔积分进行分类，由此他得到了一系列描述黎曼曲面性质的重要定理。从黎曼曲面与代数曲线的对应关系可以看出，他其实得到了很多关于代数曲线理论的重要成果。因此，我们可以说，黎曼开创了用分析法研究代数曲线的方法。

图4黎曼

黎曼最早发现了现代几何中“亏格”的基本概念(对应于几何对象中“洞”的数量)，提出了代数几何中最基本的双有理变换思想。双有理变换是比射影变换更广泛的变换，可以保持代数曲线的亏格不变，此时两条代数曲线上的有理函数域一定是同构的。注意到有理函数场是代数对象，所以它实际上建立了几何和代数的初步联系。从黎曼时代到现在，某种程度上整个代数几何主要是研究一般代数族的双有理分类。黎曼求和的学生罗氏还发现了著名的黎曼-罗氏定理(在代数曲线上)，该定理反映了代数曲线上所有有理函数组成的线性空的性质是如何受几何不变亏格控制的。这个深奥的定理后来在20世纪被推广到高维代数簇的情况，直接导致了著名的Atia-Singer指数定理的发现。

黎曼在1854年的著名演讲中给出的N维黎曼流形的初步概念，不仅是为了研究物理意义上几何空的需要，也是为探索一般高维代数簇的性质做准备。黎曼在历史上之一次发现，任何度量都可以设置在一般的高维微分流形上。经过计算，他发现了主要的不变量——黎曼曲率张量，它描述了黎曼流形的局部几何性质。这些张量实际上已经成为现代积分微分几何发展的起点，最终将以某种形式进入代数几何理论。更不可思议的是，黎曼在数论研究中提出的著名的“黎曼猜想”成为了代数几何发展的强大动力！所谓黎曼猜想，就是复变黎曼函数的所有复零点的实部都等于。黎曼猜想是一个极其丰富的猜想，应该是现代数学中尚未被证明的最重要的猜想。

数论的研究实际上是推动代数几何理论发展的另一个重要源泉。为了研究代数数域的需要，19世纪德国数学家克罗内克和戴德金引入了理想、赋值、除数等一些基本概念。这些数学家所代表的“代数学派”的工作目标是试图用解析的方法证明黎曼给出的结果的纯代数性。毫无疑问，这对代数几何的性质至关重要。与此同时，以马克斯·诺特和克莱布什为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线，他们找到了求解平面曲线奇点的“爆破”方法。

第三，从19世纪末到20世纪初，代数簇的深入研究。

自19世纪后期以来，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡德和庞加莱为代表“分析学派”试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数曲面。这里的(复)维虽然只增加了一维，但与代数曲线的情况完全不同，要克服研究代数曲面的许多困难是极其困难的。比如在复三维空空间中，如果g (x，y.z)是三元复多项式，那么g(x，y.z) = 0就是复代数曲面。类似于复代数曲线，G (x，y.z) = 0实际上决定了实6维空空间中的一个6-2 = 4维实微分流形。

在研究代数曲面的过程中，了解高维流形的拓扑性质是非常必要的。法国数学家庞加莱提出了代数拓扑的同调理论。为了搞清楚什么是高维的“贝蒂数”，庞加莱开始建立单纯复形的同调理论，从而严格证明黎曼直觉猜想。自1895年以来，他写了一系列关于同调理论的著名文章。总的思路是三角化一个代数簇，得到一系列单形，然后构造一个纯同调群(其实也是线性空)。这样，每个Betty数就是这些线性空之间的维数，它们是拓扑不变量，可以用来描述代数簇的几何性质。然后在20世纪初，Lefchetz利用这种同调理论研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。

图5庞加莱

对代数曲面理论研究最重要的贡献来自著名的“意大利学派”。这个学派的三个主要代表人物是卡斯特尔诺沃、恩里克斯和塞韦里。20世纪初，他们利用包括分析和拓扑方法在内的各种方法，创造了非常深刻的复代数曲面理论，包括代数曲面的奇点消除、除数和线性系统的经典理论、代数曲面的黎曼等。例如，他们用一组平面切割一个代数曲面，然后将黎曼的代数曲线理论的结果应用到得到的代数曲线上，由此得到了一些关于代数曲面的重要结果。与只有一个不变亏格的代数曲线不同，描述代数曲面除了几何亏格之外，还需要算术亏格等其他几个不变量。

但与此同时，意大利学派的工作也有一个致命的缺陷，那就是缺乏统一的逻辑基础，有些证明依赖于数学家头脑中某种神秘的几何直觉，因而缺乏严谨性。如同数学史上常见的情况一样，这种不稳定的逻辑基础对于视严谨为生命的数学家来说是一种特殊的纠结，它严重阻碍了代数几何的发展。

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