香农采样定理(香农理论中的通俗解释)通信监控M 2018-12-16 17:33:42

香农采样定理（香农定理通俗解释）

[通信技术基础第8讲]

佛:一花一世界，一叶一菩提。

一花一叶一菩提的世界。

我们看到和听到的世界是连续的，明暗、高低、大小、快慢都是连续的变化。如果把这些变化画在坐标轴上，就会变成连续的信号，教科书上称之为模拟信号。而我们电友友资源网的子设备处理的是0-1信号。本文提到的采样定理是模拟信号和数字信号之间的桥梁。

图片: *** ；声音数字化和复原的过程。

如上图，一个同学的歌声是通过麦克风录下来的，是连续的模拟信号。然后通过声卡转换成数字信号，可以存储和计算。如果需要听这个声音，那就通过声卡和音频还原。

于是我们不禁要问，如何将模拟信号数字化，数字化后如何不失真地恢复？

下图告诉我们，一个模拟信号m(t)需要经过采样、量化、编码三个步骤，才能变成数字信号，然后在信道中传输。其中，采样是之一步，也是最关键的一步。

图片: *** ；模拟信号数字化

如果让孩子解决这个问题，他们也会想，对于一个连续的曲线，如果我在里面画出某些点，这些点不会变成离散的信号吗？然后我们将其量化并编码成数字信号。没错。本文要讲的是，如何采样，多久采样一次？

图片: *** ；“过滤”模拟信号

脉冲采样

我们以前学过脉冲函数。我们把脉冲函数乘以函数f(t)，我们会得到脉冲处的函数值。我们当时称之为“筛选”功能。没错，这就是抽样。

假设函数是f(t)，采样函数是p(t)和周期脉冲函数，现在用p(t)采样f(t)，采样结果是fs(t)。这三个函数的频域表达式分别为F(w)，P(w)，Fs(w)。

信号f(t)的傅里叶变换为F(w)，更大频率为Wm。采样函数p(t)的傅立叶系数为Pn，其傅立叶变换为P(w)，则fs(t)=f(t)*p(t)，其傅立叶变换为Fs(w)。这种情况下，采样信号fs(t)由一系列脉冲函数组成，每个脉冲的间隔为Ts，强度等于连续信号的采样值f(nTs)，如上图所示。

周期信号的傅立叶变换

我们用周期脉冲信号对原始信号进行采样？那么周期区间Ts是怎么确定的呢？如果间隔太大，似乎会丢失太多信息；如果间隔太小，信息是不是又有点多余了？

采样频率选择稀疏点？还是密度更大？

时域采样定理

一个频率有限的信号f(t)，如果频谱友好的资源 *** 只占用-Wm~Wm的范围，那么信号f(t)可以用等间距的采样值唯一表示。并且采样间隔必须不大于1/2fm，Wm=2**fm，或者更低采样频率为2fm。即Ws≥2Wm。

通常我们的更低采样频率称为fs=2fm，“奈奎斯特频率”，更大允许采样间隔Ts=/Wm=1/2fm称为“奈奎斯特间隔”。

图片:Wiki；不同采样频率fs引起的波形抖动

所以，这就是著名的香农采样定理，也被称为奈奎斯特采样定律。为什么会出现另一种香味？

采样定理由美国电信工程师h .奈奎斯特于1928年首次提出，故称奈奎斯特采样定理。1933年，苏联工程师科特利尼科夫首次用公式严格地表达了这个定理，因此在苏联文献中被称为科特利尼科夫采样定理。1999年信息论的创始人C.E. Shannon明确解释了这个定理，并正式将其引为定理，所以在很多文献中也称之为Shannon抽样定理。

抽样定理

采样频率的选择很难在时域做出判断，虽然采样频率越密越好是常识。但是我们从另一个角度来看频域？如果我们得到一个完全的F(w ),我们可以根据傅里叶逆变换得到一个完全的f(t)。好了，信号被我们恢复了。

由于采样信号fs(t)的频率根据采样频率fs左右偏移，如果这个fs小于fm的两倍，则在偏移过程中必然会导致波形的相互影响，从而使频域中的波形失真。如果用失真的波形来还原f(t)，就会与实际不符。(在图中用角频率W表示)

从频域来看，采样定理很明显，就是防止波形叠加和失真。