地球自转角速度（地球公转的角速度）

地球自转的角速度(地球公转的角速度)

来源:刘艳珠科学网博客，作者:刘艳珠。

01

傅科摆和傅科陀螺

1851年，法国物理学家福柯(j .)在巴黎万神殿大厅的穹顶上悬挂了一根67米长的绳子，绳子的下端系着一个28公斤重的钟摆(图1、图2)。这个著名的傅科摆是之一个证明地球自转的人类实验。尽管哥白尼(n .)早在16世纪就提出了日心说，但人们仍然无法通过感官直接认识到地球的运动。

图1福柯(J .福柯，1819-1868)

图2傅科摆实验

1602年，伽利略对单摆定律有了深刻的理解。单摆的摆动是平面运动，摆动平面在惯性空范围内保持位置不变。如果地球自转，秋千平面会相对地球偏转。地球昼夜绕极轴自转一周，自转角速度E每小时逆时针旋转150°。巴黎的纬度是北纬48.52，地球绕巴黎垂线的角速度是esin，大约是每小时11.24。将摆长l=67m，重力加速度g=9.8m/s代入单摆的周期公式，t = 2 (L/g) 1/2 = 16.4s，每次摆动，摆动平面相对于地球要顺时针旋转约3角分。实验验证了福柯的预言，引起了巨大轰动。

福柯摆实验的第二年，福柯于852年在巴黎科学院进行了另一项实验。他展示了一种新的仪器，它由一个环组成，环上有一个由细线悬挂的转子，转子的旋转轴可以自由改变方向(图3)。让转子的转轴沿着子午线朝北。没有力矩时，转轴在惯性空中要保持方向不变。如果地球逆时针旋转，地球上的观测者应该可以看到旋转轴相对于地球的顺时针偏转，从而再次证明地球的自转(图4)。然而，由于两个重要原因，实验失败了。一是转子转速太低；其次，吊线的扭矩严重阻碍了旋翼的运动。虽然实验不成功，但意义重大，因为这个并不完美的仪器是历史上之一个具有科学意义的陀螺仪。

图3傅科陀螺仪

02

福柯陀螺仪指向北方

陀螺仪是由外环、内环(或包含转子的外壳)和转子组成的系统。建立以陀螺质心O为原点的(O-xyz)坐标系。X轴是外环轴，Y轴是内环轴，Z轴是转子极轴，是转子的旋转轴。外环的角度为，内环绕外环的角度为(图4)。I，j，k是每个坐标轴的基向量。若转子的极惯性矩为C，绕Z轴快速转动的角速度为0，则动量矩L=C0k。在分析陀螺转子的进动时，缓慢旋转的内外圈的动量矩可以忽略不计。建立以O为原点与地球并合的地理坐标系(O-XEN)，其中X轴沿地球垂直线向上，E轴沿纬度向东，N轴沿子午线向北(图5)。将陀螺仪外环轴X沿纵轴X放置在地球上，首先假设内环相对于外环固定的简化情况，设=0。因为转子的Z轴只有一个自由度，所以称为单自由度傅科陀螺仪。

图4由内环和外环支撑的陀螺仪

图5地理坐标系统

旋转物体的旋转轴在力矩作用下改变方向的运动称为进动，刚体进动产生的惯性矩称为陀螺力矩。地球是以角速度e绕极轴Z0旋转的旋转坐标系，设安装地点纬度为，X0，E0，N2分别代表(O-XEN)各坐标轴的基矢。设1=ecos，2=esin，则e=2X0+1N0。设(O-xyz)和(O-XEN)在开始重合，转子的极轴Z指向北方。然后框架绕X轴逆时针旋转，使极轴偏离子午线。因为框架可以不受约束地绕X轴自由转动，所以E沿X轴的分力2X0不能传递给转子。只有沿N轴的分量1N0才能通过轴承的约束力作用于转子使其进动，从而产生沿X轴的陀螺力矩Mc=L1N0。只导出预留的一阶小量，代入N0=j+k后。

这个力矩与框架的偏转方向相反，促使框架和极轴绕X轴回到子午线位置。在回归过程中，转子的动量矩L沿Y轴变化所需的外力矩由轴承的约束提供。以上分析表明，单自由度傅科陀螺仪具有指向北方的能力。

然而，这种单自由度陀螺仪很难用于船舶或其他运动车辆。原因是地球自转太慢，产生的陀螺力矩太弱，克服不了轴承摩擦的阻滞。另外，陀螺的架轴必须严格垂直，稍有倾斜就会造成严重误差。虽然不能实际应用，但这个简单的陀螺装置开启了利用地球自转创造指北仪的奋斗历程。

03

如何创建可用于实践的陀螺罗盘

我们的祖先长期活跃在海洋中，在浩瀚的大海中航行需要正确的方向。利用地球磁场的指南针是中国四大发明之一。传入西方后，成为远洋船队必备的磁罗盘。15世纪郑和下西洋的庞大船队，16世纪伽马和哥伦布的船队，都离不开磁罗盘的导航，但磁罗盘只能用于木船。19世纪初，欧洲出现了铁船，由于钢船体对磁力线的干扰，磁罗盘失效。因此，探索新的航海罗盘成为海洋强国的当务之急。福柯陀螺仪的出现为创造新型指南针提供了希望。

单自由度陀螺失效，让内圈自由转动，改成了二自由度陀螺。外环垂直固定在地球北半球的P点，内环水平，转子极轴沿子午线指向北方。过了一小段时间，地球绕南北极轴旋转一个小角度，使P点沿纬度由西向东转到P点。由于陀螺仪的定轴特性，极轴从子午线的新位置向东偏移，以保持惯性空中的方向不变，从而产生偏转角(图6)。单自由度陀螺仪可以利用地球自转产生的陀螺力矩使极轴回到子午线位置，但恢复力矩太弱，无法在实际中使用。所以，关键问题是找到更强的动力，让极轴快速恢复原位。

仔细观察可以发现，在偏离东方子午线的同时，极轴略微凸起，不再是水平的了。杆子偏离水平面的现象很重要，提示了利用重力恢复原位的可能性。如果在安装转子的内圈下方加一个配重，内圈和转子组合的重心向下偏离支撑中心，形成一个绕Y轴旋转的复摆。当内环上升时，重力产生一个沿纬度向西的力矩，使极轴带动外环绕垂直轴向西运动，回到与子午线一致的原始位置。于是思路逐渐清晰:用重力摆产生的力矩代替地球弱自转产生的陀螺力矩，可以使陀螺的转子进动，跟踪子午线。

图6地球的旋转导致转子极轴的偏转。

使绕x轴的重量力矩mgl与转子进动产生的陀螺力矩L(d/dt)平衡。导出

其中k=mgl/L..此时，由于内圈偏转角的变化，转子产生的绕Y轴的陀螺力矩L(d/dt)与地球自转E引起的陀螺力矩L1平衡，并导出。

以上两个方程确定了罗经的进动规律。分析此线性方程组，导出特征=i(k1)1/2，表明罗经指北的平衡状态稳定。受扰后的运动是围绕平衡状态的周期运动，周期为T=2/(k1)1/2。因1

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