有一个广为流传的故事，说著名数学家高斯有一个懒惰的老师。所谓老师是想让孩子忙起来，好让他午睡，于是让全班同学把数字1加到100。
高斯回答他:5050。速度很快，老师怀疑作弊，但高斯肯定没有！手动将1加到100是笨拙的，高斯找到了一个公式来避免这个问题:
下面分享一些关于这个结果的解释，真正直观的理解一下。对于这些例子，我们将把1加到10，然后看看如何把它应用到1到100(或1到任何数)。
1:匹配数字
配对数字是解决这个问题的常用方法。不要将所有数字都写在一列中，而是按如下方式排列:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
优优资源网有一个有趣的模式:每列之和为11。随着上一行数字的增加和下一行数字的减少，每列的总和保持不变。
因为1和10(我们的n)配对，所以可以说每一列都有(n+1)。我们有多少对，我们有2个相等的行，我们有n/2对。
这是上面高斯的公式。
奇数项怎么办？
啊，我很高兴你提到它。如果我们把数字1到9相加呢？我们没有偶数的物品来配对。
让我们把9加到数字1上，而不是从1开始，让我们从0开始计数:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数，我们获得了一个“额外项”(总共10个)，因此我们可以获得偶数行。但是Youyou，我们的公式看起来会不一样。
请注意，由于0和9是分组在一起的，所以每列之和是N(而不是N+1)；和以前一样)；我们在2行中有n +1个项目，总共(n+1)/ 2对(而不是在2行中正好有n个项目，总共n/2对)。如果您插入这些数字，您将得到:
和以前一样的配方！同一个公式对奇数和偶数都有效！
2:使用两条线。
上面的方法是有效的，但是你对奇数和偶数的处理是不同的，需要分别处理。有没有更好的办法？是的。
让我们把它们写成两行，而不是绕圈子:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
请注意，我们有10对，每对加起来是10+1，每列的总数是11。
以上所有数字的总和是
但是我们只想要一行的和，不是两行。所以我们把上面的公式除以2得到:
这很酷(像数字线一样酷)。它适用于奇数或偶数的相同项目！
3.做一个长方形。
这是一种解释旧配对的新方法。不同的解释对不同的人更有效，我倾向于这一种。假设我们用beans(用X表示)代替写数字。我们想在2到3个豆子中加入1个豆子…一直到5个豆子。
当然，我们可以选择10个或100个豆子，但5个也行。我们如何计算三角形中豆子的数量？
嗯，总和明显是1+2+3+4 +5。但是让我们换个角度来看。假设我们镜像三角形(我将使用“O”表示镜像bean)，然后翻转它:
很酷吧。变成一个矩阵团队。请看矩阵的最下面一行。它有五个X和一个O。在前一行中，1个X(共4个)减少，1个O(共2个)增加。就像配对一样，一边在增加，一边在减少。
现在解释一下:我们总共有多少颗豆子？这是矩形的面积。
我们有n行(我们没有改变矩形的行数)，我们 *** 的宽度是(n+1)个单位，因为1个“O”和所有的“X”配对。
请注意，这一次，我们不管n是奇数还是偶数，总面积公式都是一样的。如果n是奇数，则每行的项目数是偶数(n+1)。
但是，我们当然不要总面积(X和O的个数)，只要X的个数，既然我们把X翻倍得到O，那么X本身只占总面积的一半:
我们又回到了优优资源网最初的公式。同样，三角形中x的个数= 1+2+3+4+5，或者1到n的和。
技术:平均
我们都知道
平均值=总数/数量
我们可以把它改写成
总数=平均数*数量
所以，我们来算一下总和。如果我们有100个数字(1…100)，那么显然我们有100个项目。
为了得到平均值，请注意所有的数字都是平均分布的。每一个大数字的另一端都有一个小数字。我们来看一个小插曲:
1 2 3
平均值为2。2已经在中间了，1和3“抵消”了，所以他们的平均值是2。
对于偶数个项目
1 2 3 4
2到3之间的平均值是2.5。
注意，在这两种情况下，平均值的最左边是1，而最右边是n，因此，我们可以说，整个 *** 的平均值实际上只是1和n: (1+n)/ 2的平均值。
把它放在我们的公式里。
看啊！我们有第四种方式来思考我们的公式。
为什么这很有用？
三个原因:
1)快速添加数字可能对预测有用。
请注意，该公式扩展为:
1000加1。假设你的网站每天增加1个粉丝，那么在1000天内你会有多少访客？由于1000的平方等于100万，我们将获得100万/2+1000/2 = 500500次访问。
2)这种把数字1加到n上的概念出现在其他地方，比如算出来的可能性。牢牢掌握这个公式，有助于你多方面的理解。
3)最重要的是，这个例子展示了理解公式的多种方法。也许你喜欢配对法，也许你更喜欢矩形技术，或者有另一种适合你的解释。当你不明白的时候，请不要放弃——试着去寻找另一种可能的解释。
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