1.“四色猜想”的由来

1852年，在给英国地图着色时，一个名叫弗朗西斯·格思里的刚毕业的学生发现了一个非常有趣的现象。再复杂的地图，只要四个色调就足以把相邻的区域分开。南希觉得这绝不是偶然现象，其中可能隐藏着某种深刻的科学道理。他把自己的想法告诉了哥哥弗雷德里克·格思里，让他来解决。后者是著名数学家德·摩根教授的学生。他对哥哥提出的问题很感兴趣，敏锐地感觉到这个地图着色问题很可能是一个数学问题，于是准备给出一个数学证明。他虽然绞尽脑汁，却百思不得其解。当年10月23日，弗雷德里克首先要求德·摩根以数学的形式证明它为“四色定理”。摩根教授对他的学生提出的定理非常感兴趣，立即写信告诉他的学弟、三一学院著名数学家和物理学家汉密尔顿爵士:“我的一个学生要求我向他提供一个充分的理由来解释一个我无法确定其对错的事实。他说，画一幅画，可以随意分成很多部分，有共同边界线的两部分都要涂上不同的颜色。然后，大概需要四种颜色，不需要更多的颜色。请问:你不能构造一个需要五种或更多颜色的图片吗？

图1

摩根教授期待这位智慧超人的超级复数创造者给出答案。汉密尔顿爵士没有想到，一个学生提出的如此简单的问题会如此出乎意料地困难。经过13年的冥思苦想，直到1865年去世，他对这个染色定理一筹莫展，毫无结果。

哈代去世13年后，1878年6月13日，当时的一位著名数学家格洛丽亚，在数学年会上阅读他曾发表在《伦敦数学会学报》上的一篇文章时，将上述问题总结为“四色猜想”。1879年，《英国皇家地理学会学报》之一期再次提到了这个“猜想”，寻求这个“猜想”的正确答案。

川开来的文章和讲话引起了巨大反响，吸引了一大批人才仁人志士来探索这一难题的奥秘。值得一提的是，在这群仁人志士中，有一部分人并不以数学为专业，只是迷上了“四色猜想”，把专业换成了数学。这就是轰动全球的“四色猜想”的由来。

图2

2.发扬时尚的游戏

就在格洛丽亚总结出“四色猜想”一年后，从律师转到钻工的数学家坎普写了一篇论文，给出了之一个证明。证明发表后，普遍认为“四色之谜”已成为历史，“猜想”已成为现实。没想到11年后的1890年，20岁的后起之秀希伍德指出坎普的证明是错误的。结果，“四色猜想”仍然悬而未决。希伍德在指出坎普错误的同时，也肯定了他的成就，利用坎普在论文中提供的方法成功证明了“五色定理”。

经过这一波三折，研究“四色猜想”的心情更加激动。有很多有志之士热衷于这个难题。为了让人们直观客观地证实这个猜想必然成立，数学家斯蒂芬还设计了一个流行的“染色游戏”。游戏是两个人(或多人)玩，之一个人画一个封闭区域，由对手上色；后者上色后画出一个封闭的区域，供对手(或第三方)上色，以此类推。按照游戏规则，谁在着色画出封闭区域后，强迫后继者染第五调，谁就被判定为阴性。这个规律很有意思。整个游戏中，每染都得想到接班人，不能强迫他用第五色。如图3，E区定期刷漆，D区只能染成黄色。否则，由于E区与前四个区域相邻，后继者必须染第五种颜色。这充分说明，要逼对方不染第五色是小菜一碟。但是，游戏规定，谁这么做谁就输了。所以一定要时刻发扬风格，才能让自己立于不败之地。

图3

那么，只要我们认真注意发展这种风格，是不是就能立于不败之地呢？据说自从倡导染色游戏以来，真的没有人输过一次。客观上，它形象地说明了无论封闭区域多么复杂和陌生，相邻区域也一定可以只用四种颜色来区分。换句话说，毫无疑问，“四色猜想”必须成立。

但游戏毕竟是游戏，只能表现出四色猜想真假的倾向，不能用来代替科学证明。那么，如何在理论上证明呢？长期以来，成千上万的数学家和爱好者深受这个问题的困扰。

3.趣事

在通往“四色猜想”的路上，有很多耐人寻味的小插曲。一位才华横溢、谦虚而有声望的数学家，曾担任爱因斯坦数学导师的闵可夫斯基教授，也因为轻视这道题的难度而开了一个小玩笑。

事情是这样的。有一次，他正在给苏黎世大学的研究生上课。他突发奇想，说起了“四色问题”。他若无其事地说:“四色猜想之所以没有解决，是因为当今世界一流的数学家还没来得及研究它。其实解决这个猜想并不一定很难。”他一边说着，一边拿起粉笔即兴发挥，以为随手一挥就能当场解决这个问题。他一口气写了几块黑板，没想到越写情况越复杂，越讲线索越多。他忍不住“挂”了黑板。即便如此，教授也不气馁，坚信自己有能力揭开谜底，绝不会草率撤军。第二天，第三天...连续几天不停地说话、数数和写作。同样的，黑板也是一次比一次“挂”，一次比一次尴尬。闵可夫斯基低估了证明这一猜想所需的工作量。结果“马辰”式的黑板连续“挂”了好几个星期，弄得他不知所措，只好半途而废。几周后的一天早上，他筋疲力尽地走进教室。此时正是电闪雷鸣之时，下着倾盆大雨。闵可夫斯基十分内疚地说:“唉！看来老天是怪我自大了！四种颜色真的很难猜。对此我无能为力！”

图4

由于闵可夫斯基在被“四色猜想”空之前就很沮丧，所以“四色问题”和费马大定理、哥德巴赫猜想一样有名。即便人们乐此不疲，也令人望而生畏。

4.“四色定理”举例

给出“四色定理”的一般证明并不容易。但是对于一些特殊情况，我们不难给出一个完美的证明。为了给读者提供信息，可以以十二面体为例一窥究竟。

为了绘图的方便和直观，将正十二面体通过“打开”、“展开”、“展平”绘制成平面 *** (图5)。

约定1号面为正面，12号面为背面，2号至6号面称为之一环面，7号至11号面称为第二环面。此外，如果两种着色方法的相同颜色表面可以通过十二面体的旋转而完全重合，则这两种着色方案被视为相同。有了这些规定，我们就可以证明以下定理:用四种颜色给十二面体着色，只有四种不同的染色方案。

图5

可以分三步推断:

之一步是给十二面体上色。无论任何方案，四种颜色每种都正好用三次(请读者想一想为什么？)。

第二步，很明显，1号和12号脸一定不能是同一个颜色。此外，1号面的色调必须与2号环面使用的颜色相匹配；12号表面必须与涂了两遍的之一圈表面颜色相同。显然，当之一个环面和背面的颜色固定时，其余表面只能用唯一的染色方法着色。

第三步:从图6可以看出，用四种颜色给十二面体上色，只有十二种方案。图中每行列出的四个方案互不相同，每列显示的三个方案可以通过旋转重叠。原来只有四种不同的染色方案。

图6

5.科学史的热切渴望。

上面的例子说明，当一张地图上的国家数量不超过12个时，四色定理确实成立。这一成功激励着人们不懈地提高一张图中国家数的上限:1922年，证明了当一张图中国家数不超过25时，四色定理成立；1938年，有人把国家数量提高到32个；1940年，国家增加到35个；1969年，上限被推到39。也就是说，从1922年到1969年，近半个世纪，“四色定理”成立的国家只增加了14个。这样，为了否定“四色猜想”，至少可以设计一个包含40个相邻区域的封闭区域。

图7

与此同时，也有人从另一方面开辟了一条道路，提出了一系列与四色猜想“等价”的猜想。只要证实了这些“等价”猜想中的任何一个，那么四色猜想就迎刃而解了。1972年，有人在一篇论文中列出了多达13个这样的“等价”猜想，但没有人能打开缺口，另辟蹊径。到了70年代中期，美国伊利诺伊大学的数学家阿佩尔教授和哈肯教授独树一帜。利用Kemp创立的“必然性”和“配置可约性”的基本思想，他们启动了三台1BM360超高速电子计算机(由大学毕业生Kochi专门为Appell和Hacken组装)，运行了1200台计算机后，做出了200亿次逻辑判断。最后，在1999年，他们做出了以下决定。为了纪念阿比埃尔和哈肯的成就，伊利诺伊州大学城厄巴纳的邮局盖了“四种颜色就够了！”在它宣布“四色定理”被证明的那一天。(只有四种颜色就够了)以便记录下这个古老的奇迹，同时将成功的喜讯及时传播到全世界。

虽然“四色猜想”在大型超高速电子计算机的帮助下奇迹般地变成了“四色定理”，但四色问题并没有结束。我们知道，传统的数学证明风格简洁严谨，笔墨可以相互套用。启动超高速电子计算机需要上千个机器小时的“马拉松证明”能否简化？不计算机械能就不能证明吗？除了阿佩尔和哈肯的方法，还有其他方法吗？这些都还是摆在数学家和科学爱好者面前的！所有这些，我还是期待人们去思考，去探索，去发现，去解决！这些都是科学史给予人类的殷切期望！

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